الفرع الأول للظلي : للظلَّي أيضا فروع لكن هذين الفرعين كالأصلين لها إذا عليهما مدار أكثر المسائل المبتنية عليها كما في شرح المجسطي للنيسابوري أما الأول فالدعوى فيه أن كل مثلث قائم الزاوية على سطح الكرة الذي كان من القسي العظام وليس في أضلاعه ما يجاوز الربع فنسبة جيب تمام زاوية حادّة تفرض فيه إلى جيب الزاوية القائمة كنسبة ظل تمام وتر القائمة إلى ظل تمام الضلع الواقع بين القائمة والحادّة المفروضة .
ش 18 برهانه : نعيد الشكل المرسوم لفرع المغني ففي مثلث ا ب ح زاوية ب منه قائمة فالدعوى فيه أن جيب تمام ا ÷ جيب ب : : ظل تمام ا ح ÷ ظل تمام ا ب أي نسبة جيب تمام زاوية الحادة إلى جيب القائمة أي الجيب الأعظم كنسبة ظل تمام وتر القائمة أي ظل تمام ا ح إلى ظل تمام الضلع الذي بين الزاويتين أي ظل تمام قوس ا ب ثم نتم أضلاع المثلث إلى الربع بالبيان الذي مرّ في فرع المغني فنقول في مثلث ر ه ح زاوية ر تساوى قوس د ب التي هي قوس ا ب في المثلث الأول المفروض وزاوية ه منه قائمة ور ه تمام ه د أي تمام زاوية ا لأن د ه تقدر زاوية أو ر ح تمام ح ب التي كانت وتر زاوية ا في المثلث الأول ففي مثلث ر ه ح بحكم الشكل الظلي الأصل نسبة جيب قوس ر ه إلى جيب قوس ر د كنسبة ظل قوس ه ح إلى ظل قوس د ب وقوس د ه تمام قوس ه د التي هي قدر زاوية ا وقوس ر د هي الربع وهي قدر القائمة وجيبها الجيب الأعظم وقوس ه ح كانت تمام قوس ح ا وقوس د ب هي تمام قوس ب ا فإذن نسبة جيب تمام زاوية ا إلى جيب زاوية ب كنسبة ظل تمام قوس ح ا إلى ظل تمام قوس ب ا وذلك ما أردناه .
وإن شئت قلت في مثلث ر ه ح بحكم الظلي الأصل ظل ر ÷ ظل ه ح : : جيب ه ÷ جيب ر ه

63