في الظل يعتبر شرط آخر وهو أن يكون إحدى زواياه قائمة مطلقا لما دريت من أن الظلّ جار في المثلث القائم الزاوية فقط والآن نجري البرهان في الأصلين وفرعيهما في المثلث القائم الزاوية وهو ما يلي :
الشكل المغني الأصل :
الدعوى في هذا الشكل أن كل مثلث قائم الزاوية على سطح الكرة كان أضلاعه من قسي الدوائر العظام وليس في أضلاعه ما يجاوز الربع ، فنسبة كل واحدة من زاويتين باقيتين ( أعني اللتين غير القائمة ) إلى جيب الضلع الذي يقابلها ( أي جيب وترها ) كنسبة جيب القائمة ( أي الجيب الأعظم أعني نصف القطر يتخذ 60 ) إلى جيب وترها ( أي وتر تلك الزاوية القائمة ) .
امّا بيان برهانه فنرسم مثلث ا ب ح وليكن ب قائمة ثم نخرج كل واحد من ضلعي ا ب ا ح حتى يبلغ كل واحد منهما إلى الربع ونجعل ا قطبا ونرسم عليها قوس در فهذه القوس هي مقدار تلك الزاوية . ونجعل ه مركز الكرة ونخرج من نقطتي ا ر خطَّي ا ه ر ه وهذا ان الخطان متساويان لا محالة لأن كل واحد منهما نصف القطر ولمّا كان الجيب الأعظم أعني جيب ربع الدائرة مساويا لنصف القطر فاه جيب قوس ا د الربع ور ه جيب قوس ا ر الربع . ثم نخرج من نقطة ح عمودا على ا ه وليكن ح ح وهو جيب قوس ا ح . ونخرج من نقطتي ح ر عمودي ح ط ر ك على سطح دائرة ا ب د وهما جيبا قوس ح ب ر د لأن سطحي ش 15

57