لو اعتبرت إحاطة الخطَّ القائم على السطح المستوي مع ثلاث خطوط مستقيمة مفروضة بقائمة لكان ذلك الخطَّ عمودا على السطح لأن الخط المائل على السطح يحيط مع خطَّين متصلين به فقط بزاويتين قائمتين ومع سائر الخطوط بزوايا حوادّ ومنفرجات وأصغر الحوادّ وأعظم المنفرجات هما اللتان في جهة الميل ومقابلتها وليبيّن هذه الأحكام ببرهان هندسي :
ش 25 فليكن السطح ا ب والخطَّ المائل عليه د ح على أن نقطة ح - فيه أي في ذلك السطح ، ونخرج من د عمود د ه على السطح ونصل ه ح ونخرجه إلى ر ومن ح خط ح ح ط في السطح عمودا على ه ر فلانّ سطح مثلث د ه ح يمرّ بعمود - د ه - يكون قائماً على سطح ا ب على قوائم بالثامن عشر من حادية عشرة الأصول ، ولأن ه ر فصل مشترك بين سطح ا ب والمثلث و ح ط عمود على ذلك الفصل يكون عمودا على المثلث أيضا بعكس ذلك الشكل فيكون خط د ح الواقع في سطح المثلث مع خطَّى ح ح ح ط محيطا بقائمتين فثبت الحكم الأول .
ثم نخرج ك ح ل في السطح غير قائم على ح ط فزاويتا د ح ل د ح ك حادة ومنفرجة إذ لو كانتا قائمتين يلزم أن يكون د ح لكونه عمودا على ك ل ح ط المتقاطعتين عمودا على سطح ا ب بالرابع من تلك المقالة هف فثبت الحكم الثاني .
ثم ليكن الحادة منهما زاوية د ح ل ويفصل ح ل مثل ح ه ونصل د ل ه ل ففي مثلث د ل ه ضلع د ل لكونه وتر القائمة أعني زاوية د ه ل أطول من د ه العمود بالتاسع عشر من أولي الأصول ففي مثلثي د ح ه د ح ل لاشتراك ضلع د ح وتساوى ضلعي ه ح ح ل وكون د ل أطول من د ه يكون

276