فنسبة - ا س - إلى س ه - كنسبة - ب ط - إلى - ط ه - فنسبة - ب ط - إلى - ط ه أعظم من نسبة - ب م - إلى - م ه - فب ط - أعظم من - ب م - وزاوية - ا س م - بعض زاوية - ا س ط - ونجعل زاوية - س ا ب - مشتركة فزاويتا - ا س م - س ا ب - أصغر من زاويتي - ا س ط س ا ب - لكن زاويتي - ا س ط - س ا ب - معادلتان لقائمتين فزاويتا - ا س م - س ا ب - أصغر من قائمتين فخطَّأ - س م - ا ب - متلاقيان في جهة - م ب - وليلتقيا على - ل - ولأن خطي - س ل - ا ب - في سطحي - ص س م ف - ا ص ف ب - فان - ل - على الفصل المشترك لكن - ص ف - أيضا في هذين السطحين بينهما فنقط - ص - ف - ل - على خط واحد مستقيم لكن - ل - في سطع الأفق وفي سطح دائرة - ح ف ص - فهو على الفصل المشترك بينهما ونقطة - ج - كذلك في سطح الأفق وهذه الدائرة فخط - ح ل - من الفصل المشترك لهما فهو مواز لمعدل النهار وخط نصف النهار قائم عليه لكن نقطة - ه - في هذا الخط فعمود - ه ك - هو خط نصف النهار .
ثم نعود إلى الشكل الأول العملي فنقول ان - ا د - ب ح - ح ط - هي أقطار مثلثات الأظلال أعني نظائر - ا ز - ب ز - ح ز - وا ن - ا ع - هناك مساو - لاز - هاهنا و - ب ع - هناك مساو - لب ز - هاهنا وقاعدتا - ا ب - فيهما متساويتان فمثلث - ا ب ع - هناك هو مثلث - ا ب ز - هاهنا وكل واحد من خطي - ع ب - هناك مساو لكل واحد من خطي - ز ص - ز ب - هاهنا - ع ص فع ص - في كليهما واحد وكذلك - ا ص - و - ن ف - فمنحرف - ص ف ب - فيهما متشابهان واضلاعهما النظائر متساوية و - ص ف - يلقى - ا ب - على - ل - فبعد الملتقى من - ب - في كليهما واحد فنقطة - ل - في الشكلين واحدة ووضع - ح ل - متشابه وليس فرض الجانب الواحد بضروري ولكنه يجب ان نراعي بالأطول والأوسط ما عملناه ومتى استوى منها اثنان توسطهما خط نصف النهار ونصف الزاوية التي يحيطان بها وآل الأمر إلى الدائرة الهندية .

344