الكرة المتحركة لأطولوقس .
لا تتقاطع دائرتان على أكثر من نقطتين كما برهن عليه في العاشر من ثالثة الأصول ، فإن كانتا عظيمتين تتناصفان على النقطتين وكان فصلهما خطَّا مستقيما مارّا بالمركز ، وإن تقاطعا على قوائم تمرّ كلّ واحدة منهما بقطبي الأخرى وبالعكس .
24 - الزوايا الثلاث في كل مثلث مستو تعدل قائمتين أي مائة وثمانين درجة ( 180 ) بشكل لب من أولي الأصول فإن كانت إحدى زاوييه قائمة فهي تعدل قائمة وكلّ واحدة من الأخريين أقل من قائمة وإلا لزم شموله على أكثر من قائمتين فكل واحدة منهما تمام الآخر إلى تسعين درجة ومجموعهما تعدل قائمة . فتمام كل زاوية هو الباقي من طرح تلك الزاوية من تسعين درجة .
وإنّما قيّدنا المثلث بمستو لأنّ المراد بالمستوى هو المسطح أي أنّ المثلث على البسيط أعني السطح المستوي زواياه الثلاث مساوية لقائمتين ، وأما المثلث على الكرة فجميع زواياه الثلاث أعظم من قائمتين كما بين في يا من أولي أكرمانالاؤوس فالمثلث المستوي مستقيم الأضلاع بخلاف الكروي لأنّ أضلاعها من قسى الدوائر العظيمة على الكرة فتبصّر .

17