وظاهر أن قوسي - ى ط ، ى ر - متساويتان لتساوى بعد أجزاء المدار عن قطبه أبدا . وكذا قوسا - ه ط ، ه ر - تماما الارتفاعين المتساويين أيضا متساويتان و - ه ى - مشترك فزاويتا - ر ى ه ، ط ى ه - متساويتان . وكذلك زاويتا - ر ه ى - ط ه ى - بل زاويتا - ر ه ح ، ط ه ح - متساويتان بقوة رابع أولى اكرمانالاوس . فقوسا - ا ك ، ا ل - اللتان هما مقدار هاتين الزاويتين متساويتان .
ولمّا كانت المقنطرات موازية للأفق ، وكانت دوائر الارتفاع ونصف النهار مارّة بقطبها . فبالشكل العاشر من ثانية اكرثاوذوسيوس كلّ قوسين من مقنطرة يفرض تقعان بين قوس - ا ه - وقوس - ك ه ، ل ه - متساويتان وظاهر أن الفصل المشترك بين دوائر الارتفاع عمود خارج من سمت الرأس على سطح الأفق ، ومارّ بمراكز جميع المقنطرات . فمن الفصل المشترك بين نصف النهار وبين أية مقنطرة كانت تحدث في الفصل المشترك بين تلك المقنطرة وبين دائرتي الارتفاع زاويتان متساويتان على مركز تلك المقنطرة بسبب تساوى قوسي هاتين الزاويتين .
فإذا تقررت هذه المقدمات نقول : إن سطح الدائرة الهندية مواز لسطح الأفق فهي في سطح الأفق فهي في سطح مقنطرة من المقنطرات بالضرورة فكان مركزها مركز تلك المقنطرة لما دريت من أن العمود الخارج من سمت الرأس على سطح الأفق يمرّ بمراكز جميع المقنطرات وكان سهم المقياس منطبقا على ذلك العمود .
فمحيط الدائرة الهندية مواز لمحيط تلك المقنطرة . وقد علم من المقدمة الأولى أن ظل المقياس كان على فصل مشترك بين دائرة الارتفاع وبين سطح الأفق الحسي ومقنطرة فالقوسان من الدائرة الهندية الواقعتان بين دائرة نصف النهار ودائرتي الارتفاعين المتساويين عن جنبي دائرة نصف النهار شبيهتان بقوسين من مقنطرة تقعان بينها عن الجانبين فدائرة نصف النهار تنصّف قوسا من الدائرة الهندية وقعت بين رأسي الظلين فالخط المار بمركز الدائرة الهندية المنصف لتلك القوس في سطح نصف النهار وهو المطلوب .

302