برهانه أن الشمس إذا كانت في أحد الانقلابين وفي غاية الارتفاع كانت على المارة بالأقطاب الأربعة ضرورة انطباقها على نصف النهار حينئذ ولا شك أن القوس الواقعة من نصف النهار بين مدار أحد الانقلابين ومعدل النهار من الجانب الأقرب بقدر الميل الكلَّي سواء كان ذلك الانقلاب على نصف النهار أولا لأن القسيّ الواقعة بين الدوائر المتوازية من العظام المارة بأقطاب تلك المتوازية متساوية بالعاشر من ثانية اكرثاوذوسيوس ولذلك تكون القوس الواقعة من نصف النهار بين مدار أحد الانقلابين والأفق دائما بقدر غاية ارتفاع ذلك المنقلب فإذا نقص مجموع الارتفاعين من نصف الدور في الصورة الأولى ، والأصغر من الأعظم في الثانية بقيت قوس من المارة بالأقطاب بين مداري الانقلابين وهو ضعف الميل الكلَّي فإذا نصف حصل المطلوب وفي الثالثة يكون مدار الانقلابين مماسين للأفق دائما أحدهما من تحت والآخر من فوق فتكون غاية ارتفاع الانقلاب الظاهر قوسا من المارّة واقعة بين مداري الانقلابين لما ذكرنا وتلك القوس بقدر ضعف الميل الكلَّي .
وفي الرابعة يكون تقاطعا مدار الانقلاب الظاهر مع نصف النهار فوق الأرض والقوس الواقعة من نصف النهار بل من المارة بالأقطاب داخلة ذلك المدار انما هي بقدر ضعف تمام الميل الكلَّي فيكون تمام هذه القوس إلى النصف أعني مجموع الارتفاعين بقدر ضعف الميل الكلَّي والباقي كما ذكرنا .
وفي الخامسة مدار الانقلاب مواز للأفق لانطباق المعدل عليه فيكون أعظم الارتفاعات بقدر الميل الكلَّي .
وفي خط الاستواء أصغر الارتفاعات في كلا الجانبين بقدر تمام الميل الكلَّي فإذا نقص عن الربع يبقى الميل الكلَّي . ثم هذا انما يصحّ لو اتفق حلول الشمس في الانقلابين ومرورها دائرة نصف النهار معا وقلَّما يتفق ذلك لكن هذا لا يضرّ لكون حركة الشمس في الميل في قرب الانقلابين في غاية القلة .

206