بالشكل السادس من أولى أكرثاوذوسيوس ومدار رأس المنقلب كان مماسا للمنطقة فيقطع هذا المدار منطقة البروج على هاتين النقطتين وهو المطلوب . وأما الثاني فيعلم بالقياس إلى الأول .
امّا القوس التي من منطقة البروج بين النقطتين الأولين فهي أبديّة الظهور ، والمنقلب الذي في جهة القطب الظاهر في منتصفها ، ومدة كون الشمس فيها تكون نهارا وكلما كانت أعظم كان النهار أطول واما التي منها بين الأخريين فهي أبديّة الخفاء والمنقلب الذي في جهة القطب الخفي في منتصفها ومدة كون الشمس فيها تكون ليلا وكلما كانت أعظم كان الليل أطول .
وانما تكون الأولى أبديّة الظهور والثانية أبديّة الخفاء لأن ميول أجزاء الأولى في جهة القطب الظاهر أعظم من تمام عرض البلد ، وميول أجزاء الثانية في جهة القطب الخفي أعظم من تمامه .
وطرفا الأولى أعني النقطتين تماسان الأفق من فوق على قطب أول السماوات القريب من القطب الظاهر من المعدل ولا يغيبان . وطرفا الثانية تماسانه من تحت على القطب الآخر لأول السماوات القريب من القطب الخفي من معدل النهار ولا تطلعان .
وامّا التي وقع أول الحمل في منتصفها فتطلع معكوسة أي يطلع آخرها قبل أولها على خلاف المعهود ، وتغرب مستوية أي على المعهود الذي هو طريق الغروب في الآفاق الأخرى إن كان القطب الظاهر شماليا وتطلع مستوية وتغرب معكوسة إن كان القطب الظاهر جنوبيا . وذلك لأنّ هذه القوس إذا كانت تحت الأفق الشرقي في الآفاق الشمالية كانت أواخرها أقرب إلى الأفق من أوائلها فتطلع أواخرها قبل أوائلها . وأمّا إذا كانت فوق الأفق الغربي في تلك الآفاق فتكون أوائلها أقرب إلى الأفق من أواخرها فتغرب أوائلها قبل أواخرها وفي الآفاق الجنوبية يكون بالعكس من ذلك فتطلع أوائلها قبل أواخرها وتغرب أواخرها قبل أوائلها .
وأما التي وقع أول الميزان في منتصفها فتكون على عكس القوس الثالثة أي تطلع مستوية وتغرب معكوسة في الآفاق الشمالية وتطلع معكوسة وتغرب

180